Además, por petición de Álvaro U, que quería más problemas (sobre todo de parábolas), os voy a dejar una lista de reproducción en youtube de Demetrio Susín, son 36 vídeos de cónicas, de 1 a 7 minutos cada uno, con muchísimos casos de problemas. Va "muy lento", así que están muy bien para que, como siempre os digo, y es la mejor forma de verlos y escucharlos, podáis coger un buen taco de "hojas de sucio", lápiz, reglas y compás e id haciendo los trazados a la vez. Y si alguno se hace a mano alzada, no pasa nada tampoco.
Estos ejercicios de cónicas (junto con los anteriores de elipses, parábolas e hipérbolas de las 3 semanas anteriores), se corresponden con una posible pregunta de EvAU A1-B1, junto con Afinidad, Homología, Inversión y Tangencias. 3 puntos en la EvAU.
ACTIVIDADES INTERACTIVAS
Mi idea con estos ejercicios es que intentéis, en un papel a sucio, resolverlos.
Recordad que siempre es conveniente realizar un dibujo esquemático de la cónica correspondiente, marcando sobre él los datos conocidos, para así encontrar la forma de resolverlo.
Las actividades son interactivas y se resuelven paso a paso para poder comprobar vuestra solución. Para iniciar la resolución solo hay que pinchar sobre el ejercicio. Una vez iniciada la resolución, pinchad otra vez para que continúe. Una vez terminado el ejercicio, al volver a pulsar, se eliminarán las construcciones.
ENTREGA Y PLAZO
En esta semana, no hay que entregar nada. Es trabajo personal.
Como siempre, espero vuestras dudas en un comentario mejor, si es posible, para así compartirlas todos.
ELIPSES
1 - PAU Madrid. Modelo 2006 A3. Tangentes a una elipse paralelas a d
5. Selectividad 2010 Madrid. Elipse conocido F, T, t y eje mayor
6. Elipse a partir de tangente, punto de tangencia, Foco F y distancia a F'
7. EvAU Modelo 2019 Cónicas
Os dejo la explicación de este ejercicio, que una compañera me lo pidió, un poquito larga, pero yo aprovecho ya para contaros y relacionaros más cosas:
PARÁBOLAS
1. PAU Madrid Modelo 2004 A2
2. PAU Madrid. Modelo 2008 A2. Parábola
Dejo aquí un ejercicio muy parecido pero con la recta no perpendicular al eje de la parábola, y que está muy bien explicado. Por cierto, hay conceptos de Potencia, eje radical y potencia, que se aplican.
(Iré añadiendo vídeos que den soporte a vuestras dudas sobre las láminas que tenéis que hacer, según avancéis).
1. Trazado por puntos o método de radios vectores.
2. Trazado por el método de haces proyectivos.
Visto lo que es una hipérbola (espero que hayáis visto la Teoría) y sus construcciones, ¡vamos a sus elementos!.
3. Hipérbola. Definición y elementos.
Mucha información en 5 minutos, lo sé. Vamos a desgranarlo poco a poco.
Tenemos que tener muy claro, en estos momentos que:
"La hipérbola es una curva abierta y plana (con dos ejes de simetría y dos ramas) que se obtiene cortando un cono recto de revolución por un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, pero con un ángulo menor que el de la generatriz respecto al eje de revolución". Si ese plano contuviese al eje de revolución (por tanto pasará por el vértice del cono) ¿Qué figura/s obtendríamos? Contesta en un comentario con el código H1.
"La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos puntos fijos, llamados FOCOS (F1 y F2), es constante y de valor 2a. El valor de esta diferencia 2a es igual a la longitud del eje real A-A' de la hipérbola".
¿Todo esto no os suena ya? Tratad de imaginar la hipérbola de otra forma. Imaginad una elipse con vértices A-A' (eje mayor) que se dobla alrededor de un cilindro vertical pero no se llegan a juntar por detrás. Desde donde miráis estáis delante de la elipse doblada, al estirarla sería una elipse, pero si mirarais por detrás de ese cilindro con la elipse doblada, veríais exactamente una hipérbola. ¿Me seguís? La hipérbola es muy parecida a la elipse, y se trabaja como con ella puesto que tiene los mismos elementos. Muchos problemas, incluso, si no me especifican que es una elipse o una hipérbola, podrían resolverse para ambas figuras. No perdáis este punto de vista, que os puede ayudar.
Veamos ahora ...
siendo P un punto cualquiera de la hipérbola:
PF1-PF2=constante=2a
y fijaos que la distancia entre los focos F1F2 o FF' (llamada DISTANCIA FOCAL=2c) siempre es mayor que 2a. En la elipse era al revés (si lo miráramos por detrás de ese cilindro imaginario, sería una elipse y cumpliría lo de la elipse, que sería menor).
A PF1 y PF2 se les llama RADIOS VECTORES. Cada segmento de un punto a un foco es un radio vector.
Entonces ya conocemos estos elementos de la hipérbola (fijaos que son los mismos que en la elipse):
EJE REAL, FOCAL, también MAYOR como en la elipse- 2a, se corresponde con dos puntos de la hipérbola, sus vértices.
EJE SECUNDARIO O IMAGINARIO, también MENOR como en la elipse -2b que en la hipérbola es un eje imaginario. Los puntos C y D se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c (ver figura 1.1).
VÉRTICES - AB - La distancia entre ellos es 2a.
CENTRO O - En el centro del segmento AA' o AB
FOCOS - F1F2 o FF' dos puntos fijos.
DISTANCIA FOCAL - F1F2 - 2c
RADIOS VECTORES - Distancia de un punto de la hipérbola a cada foco. PF (hay dos).
Figura 1
Figura 1.1
La relación que existe, mira en la figura 1.1 entre "c" y "a", es lo que se llama EXCENTRICIDAD. Siempre es mayor o igual a "1", dado que "c" es mayor o igual que "a" siempre. La excentricidad es la que mide la abertura mayor o menor de estas ramas de la hipérbola.
¿Los tenemos todos identificados?
Avanzamos ahora con otros dos elementos fundamentales:
CIRCUNFERENCIA FOCAL. Es la circunferencia que tiene como centro uno de los focos de la hipérbola y radio 2a. ¡Igual que en la elipse!. Hay por tanto, dos circunferencias focales. De hecho, su definición es: Cf es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1 en el dibujo de abajo) respecto a las tangentes de la hipérbola. Y lo entenderéis cuando veamos el siguiente elemento, tranquilos.
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL. También muy útil, ya veréis. Es la circunferencia de centro O y diámetro 2a (igual que en la elipse). Importante, esta circunferencia es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la hipérbola. Fijaos en el dibujo de abajo, el punto P pertenece a la hipérbola, trazados PF y PF', si llevamos el segmento PF' sobre PF obtenemos F1(yo lo suelo llamar Fs, por ser el simétrico de F'). Justo en su punto medio, y perpendicular a ese segmento F' y su simétrico, que es el punto Q, obtenemos la recta tangente a la hipérbola en el punto P. ¿Lo veis? Ese triangulito es fundamental, como lo era en la elipse y en la parábola. Pues bien, resulta que ese punto Q pertenece a la circunferencia principal. Esto os servirá para muchos problemas. ¿Os habíais fijado que el simétrico del Foco pertenece también a la circunferencia focal del otro foco? ¡Qué casualidad! Ojo al dato, porque os servirá también.
Figura 2
OJO: Es muy recomendable hacerse este dibujo genérico como dibujo de análisis o parte de él antes de abordar un ejercicio (¡¡os lo digo siempre!!), y ver qué me dan, y qué me piden. De esa manera sabremos cómo resolver los ejercicios.
Fijaos también en otra cosa en el dibujo anterior: al final, resulta que la recta tangente t en un punto P de la hipérbola, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en ese punto (ángulo entre PF y PF'). ¡Otra casualidad a tener en cuenta en los problemas! Y claro, la normal, será su perpendicular. Como en este dibujo simplificado:
Figura 3
Una penúltima cosa, ya que estamos, vuelvo a la figura 2, por si tenemos un problema raro de hipérbola en la EvAU como el de la parábola del junio pasado. Hemos visto que todos los puntos Q de la circunferencia principal son los pies de las tangentes a la hipérbola y si los unimos con el foco F' deben formarse siempre 90º. Pues esto debe cumplirse en todos ellos, y nos vale para hacer otra construcción de la hipérbola: POR ENVOLVENTES. No es exacto, en absoluto, pero es muy fácil ¿no? Mirad la figura 4. También podéis ver la construcción en este vídeo, aunque la Cp no es muy circunferencia que digamos, pero bueno.
Figura 4
Prestad atención, es lo último, de verdad. Si hago lo mismo que en cualquier punto Q de esa circunferencia principal, pero cojo el punto A, resulta que también pertenece a esa Cp, ¡Qué casualidad! :-) Es un punto que ya conocemos de la hipérbola, su vértice, y ahí su tangente es perpendicular al eje ¿no? Pues bien, si trazo el arco de centro O y radio OF, en la intersección de dicho arco con esa tangente en A (que ya hemos visto que es perpendicular al eje real), hallaremos el punto 1. Uniendo O1 obtendríamos una recta importante: una de las dos ASÍNTOTAS de la hipérbola. La otra, por simetría y listo. Estas asíntotas, son las rectas tangentes a la hipérbola en el infinito. ¿Las veis en la figura 2? Al final está todo relacionado...
Bueno, pues hasta aquí, salvo que necesitéis alguna aclaración más.
Cónicas. Hipérbola 1. Consejo, antes de hacer esta lámina, vuelve a ver el vídeo 3.
DUDAS
Comentarios en esta misma tarea, que así los compartimos todos. Y lo que no sea posible, ¡al correo!. Y si hace falta, ya os haré algún vídeo cutre mío para explicaros lo que necesitéis, como en la parábola.
EVALUACIÓN
Las láminas se puntuarán sobre 10, considerando el grado de cumplimiento de los estándares de aprendizaje correspondientes a este bloque. Criterio general: el definido en la programación, que ya conocéis.
ENTREGA y PLAZO
Cuando termines cada uno de los ejercicios, incluye una foto o escaneado del mismo en el siguiente tablero. Edita tus fotos para que se vean lo mejor posible. Como siempre, tu envío no será visible hasta que yo los haga públicos.
Plazo:lunes 14 de abril 23:55h
Tablero de entregas: Nota: es mejor que abráis el enlace en una ventana nueva, el tablero es más rápido y os fallarán menos las subidas de ficheros. Por favor, girad las imágenes a posición vertical antes de subirlas al tablero.
La parábola. Casi no se ve pero ¡es importante que echéis un vistazo a la teoría antes!
VÍDEOS
(Iré añadiendo vídeos que den soporte a vuestras dudas sobre las láminas que tenéis que hacer, según avance la semana)
1. Trazado por puntos o método de los radios vectores:
2. Trazado por método de haces proyectivos:
3. Trazado por envolvente parabólica o dadas dos tangentes y los puntos de tangencia.
Es un vídeo sin audio, pero me parece muy interesante por dos razones:
Primero, para que veáis cómo se traza la curva usando una plantilla cualquiera (ya os dije que consiguierais todas las plantillas que pudierais. Ahora es momento, buscad en antiguos estuches.... Los datos son : los puntos A y C que pertenecen a la parábola, las dos rectas dadas son tangentes a la parábola en A y C. Y B, claro, es la intersección de las dos tangentes dadas.
Segundo, porque este fue un ejercicio de la EBAU en junio 2019 (muy polémico), que podía haberse resuelto así (muy fácil, aunque veréis que es un método aproximado):
3.1. O también así. Pero no veáis este vídeo hasta que terminéis con este tema.
Visto lo que es una parábola y sus construcciones, ¡vamos con su definición!.
4. Parábola, definición. Miad este vídeo primero - sin audio:
Tenemos que tener muy claro, en estos momentos que:
"La parábola es una curva abierta y de una rama (con un solo eje de simetría) que es la sección plana de un cono de revolución cuando solo corta a una rama del cono mediante un plano no perpendicular a su eje, y paralelo a una sola generatriz" (si fuera perpendicular... ¿qué obtendríamos? Contesta en un comentario incluyendo el código P1. Positivo para los tres primeros). Imaginad una elipse, ¿podéis hacer el esfuerzo de imaginar una elipse que tiene un extremo del eje mayor en el infinito? ¿Dónde estaría el foco próximo a ese vértice? Contesta en otro comentario incluyendo el código P2. ¿Veis lo que es una parábola? ¡Un trozo de elipse! (más o menos). No perdáis esa imagen de la parábola relacionada con una elipse, nos servirá más adelante.
"La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto denominado FOCO (F), y una recta denominada DIRECTRIZ". En el vídeo anterior, L es la directriz. Fijaos, como todos los P guardan la misma distancia a F, y a la recta L (ya sabéis que las distancias se miden en perpendicular ¿no?).
Veamos ahora ... Si Q es un punto de esa recta L, la DIRECTRIZ
siendo P un punto cualquiera de la parábola:
PF=PQ y es variable, pues depende de lo lejos que esté P.
y ... comparándolo con la elipse... fijaos que la distancia entre los focos F1F2 (llamada DISTANCIA FOCAL) que siempre era menor que 2a... En el caso de la parábola, ¿cual sería la distancia focal? Contesta en un comentario incluyendo el código P3.
A los diferentes PF ses le llama RADIOS VECTORES. Cada segmento que va de un punto al foco es un radio vector.
Entonces ya conocemos estos elementos de la parábola (comparándola con la elipse):
EJE MAYOR- Es el único eje de la parábola.
EJE MENOR - No existe, ¿por qué? Contesta en un comentario incluyendo el código P4.
VÉRTICE - Es un punto de la curva, por tanto, equidista de la directriz y del foco.¿Sólo uno? ¿Dónde está el otro? Contesta en un comentario incluyendo el código P5.
CENTRO O -No existe, ¿por qué? Contesta en un comentario incluyendo el código P6.
FOCO - Es único.
DISTANCIA FOCAL- Al haber un solo foco, no existe.
RADIOS VECTORES - PF (hay solo un foco). El segmento que une un P de la curva con el foco.
PARÁMETRO p - Es la distancia que hay entre el foco y la directriz.
¿Los tenemos todos identificados?
Pero... Hemos utilizado un elemento en el vídeo anterior, la recta L, la DIRECTRIZ ¿Recordáis?
DIRECTRIZ ¿Es este un elemento nuevo?
Mirad y escuchad con mucha atención este vídeo:
Con este vídeo, hemos avanzado ahora con otros dos elementos fundamentales en la parábola: LA DIRECTRIZ Y LA TANGENTE A LA PARÁBOLA EN SU VÉRTICE.
¿Son nuevos con respecto a la elipse?
CIRCUNFERENCIA FOCAL en la elipse, en la parábola es DIRECTRIZ (una recta). ¿Por qué? ¿Qué relación hay? Contesta en un comentario incluyendo el código P7.
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL en la elipse, en la parábola es la tangente a la parábola en el vértice V (otra recta). ¿Por qué? ¿Qué relación hay? Contesta en un comentario incluyendo el código P8.
Visto esto, fijaos en otra forma de resolver el trazado de la parábola por envolventes (comparadlo con el vídeo 3) cuando tenemos la directriz, eje, foco y vértice de la parábola.
Muy importante: El esquema del vídeo 4 será, en la mayor parte de los casos, el dibujo de análisis que nos permitirá marcar sobre él qué elementos tenemos y cuáles nos están pidiendo, encontrando de esa manera la forma de resolver los problemas, sobre todo los de tangencias. ¡No lo olvidéis! Debería estar presente, y ayudaros (no de adorno ;-)) en cada una de las láminas 1 y 2.
De momento, ya está. ¡No os voy a poner un vídeo resolviendo cada ejercicio! Intentad hacer los ejercicios con toda esta información y lo que ya sabéis. Buscar vídeos en internet no os ayudará a aprender a pensar los ejercicios. Ya iré viendo si necesitáis algo más.
Dudas:
ACTUALIZACIÓN
Y ahora os voy a dejar aquí un esquema completo de la parábola en forma de ejercicio interactivo. Id pulsando para que avance. Yo le añadiría algo más al final: una circunferencia con centro en P y que pasa por F y F'. Os servirá para resolver problemas.
Comentarios en esta misma tarea, que así los compartimos todos. Y lo que no sea posible o sea personal, ¡al correo!.
EVALUACIÓN
Las láminas se puntuarán sobre 10, considerando el grado de cumplimiento de los estándares de aprendizaje correspondientes a este bloque. Criterio general: el definido en la programación, que ya conocéis.
ENTREGA y PLAZO
Cuando termines cada uno de los ejercicios, incluye una foto o escaneado del mismo en el siguiente tablero. Tu envío no será visible hasta que yo los haga públicos.
Plazo:lunes 30 de marzo 23:55h. No os agobiéis que ya sabéis que no hay descuentos por retrasos.
Tablero de entregas: Nota: es mejor que abráis el enlace en una ventana nueva, el tablero es más rápido y os fallarán menos las subidas de ficheros. Por favor, girad las imágenes a posición vertical antes de subirlas al tablero.
Novedades:
He estado pensando (a veces lo hago, je je). Y no creo conveniente seguir en esta modalidad a distancia con el Sistema Diédrico. Os está costando mucho (es normal) y lo dejamos para "la vuelta".
Así que vamos a retomar un tema que "nos saltamos" de Geometría Plana: las curvas cónicas, que creo nos va a permitir ser desarrollado estupendamente en la modalidad a distancia. ¿Os gusta la idea? Con tal de descansar de diédrico... me da que os va a encantar.
La elipse. Muy importante. Es la teoría del tema de Elipses.
VÍDEOS
(Iré añadiendo vídeos que den soporte a vuestras dudas sobre las láminas que tenéis que hacer, según avance la semana)
Visto lo que es una elipse y sus construcciones, ¡vamos a sus elementos!. Os dejo un vídeo que, aunque llama chinche a las chinchetas, y templada a estirada, creo que es muy clarito.
Tenemos que tener muy claro, en estos momentos que:
"La elipse es una curva cerrada y convexa (pues tiene dos ejes de simetría) que es la sección plana de un cono de revolución que corta a todas las generatrices, pero no es un plano perpendicular al eje".
"La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos puntos fijos, llamados FOCOS (F1 Y F2), es constante. El valor de esta suma es igual a la longitud del eje mayor de la elipse".
Veamos ahora ...
siendo P un punto cualquiera de la elipse:
PF1+PF2=constante=2a=V1V2
y fijaos que la distancia entre los focos F1F2 (llamada DISTANCIA FOCAL) siempre es menor que 2a
A PF1 y PF2 se les llama RADIOS VECTORES. Cada segmento de un punto a un foco es un radio vector.
Entonces ya conocemos estos elementos de la elipse:
Avanzamos ahora con otros dos elementos fundamentales:
CIRCUNFERENCIA FOCAL. Esta, nos va a permitir resolver la mayor parte de los ejercicios de elipses. Como algunos de los que os propongo para esta semana. OJO: Es muy recomendable hacerse este dibujo genérico como dibujo de análisis, y ver qué me dan, y qué me piden. De esa manera sabremos cómo resolver los ejercicios.
CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL. También muy útil, ya veréis.
Comentarios en esta misma tarea, que así los compartimos todos. Y lo que no sea posible, ¡al correo!.
EVALUACIÓN
Las láminas se puntuarán sobre 10, considerando el grado de cumplimiento de los estándares de aprendizaje correspondientes a este bloque. Criterio general: el definido en la programación, que ya conocéis.
ENTREGA y PLAZO
Cuando termines cada uno de los ejercicios, incluye una foto o escaneado del mismo en el siguiente tablero. Tu envío no será visible hasta que yo los haga públicos.
Recordad que no debéis pasaros los ejercicios por el grupo de Whatsapp, no les estaréis haciendo ningún favor a vuestros compañeros. Tenedlo en cuenta, no me obliguéis a hacer que me expliquéis la lámina a la vuelta.
Plazo:lunes 23 de marzo 23:55h
Tablero de entregas: Nota: es mejor que abráis el enlace en una ventana nueva, el tablero es más rápido y os fallarán menos las subidas de ficheros.
