SEMANA 3 (30 marzo a 14 de abril) - Curvas cónicas. Hipérbola.

TAREA SEMANA 3:
CURVAS CÓNICAS. Hipérbola.

CONTENIDOS

TEORÍA

• La hipérbola.

VÍDEOS

(Iré añadiendo vídeos que den soporte a vuestras dudas sobre las láminas que tenéis que hacer, según avancéis).

1. Trazado por puntos o método de radios vectores.


2. Trazado por el método de haces proyectivos.


Visto lo que es una hipérbola (espero que hayáis visto la Teoría) y sus construcciones, ¡vamos a sus elementos!.

3. Hipérbola. Definición y elementos.


Mucha información en 5 minutos, lo sé. Vamos a desgranarlo poco a poco.

Tenemos que tener muy claro, en estos momentos que:

"La hipérbola es una curva abierta y plana (con dos ejes de simetría y dos ramas) que se obtiene cortando un cono recto de revolución por un plano no necesariamente paralelo al eje de simetría, pero con un ángulo menor que el de la generatriz respecto al eje de revolución". Si ese plano contuviese al eje de revolución (por tanto pasará por el vértice del cono) ¿Qué figura/s obtendríamos? Contesta en un comentario con el código H1.

"La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos puntos fijos, llamados FOCOS (F1 y F2), es constante y de valor 2a. El valor de esta diferencia 2a es igual a la longitud del eje real A-A' de la hipérbola".

¿Todo esto no os suena ya?
Tratad de imaginar la hipérbola de otra forma. Imaginad una elipse con vértices A-A' (eje mayor) que se dobla alrededor de un cilindro vertical pero no se llegan a juntar por detrás. Desde donde miráis estáis delante de la elipse doblada, al estirarla sería una elipse, pero si mirarais por detrás de ese cilindro con la elipse doblada, veríais exactamente una hipérbola. ¿Me seguís? La hipérbola es muy parecida a la elipse, y se trabaja como con ella puesto que tiene los mismos elementos. Muchos problemas, incluso, si no me especifican que es una elipse o una hipérbola, podrían resolverse para ambas figuras. No perdáis este punto de vista, que os puede ayudar.

Veamos ahora ...
siendo P un punto cualquiera de la hipérbola:
PF1-PF2=constante=2a
y fijaos que la distancia entre los focos F1F2 o FF' (llamada DISTANCIA FOCAL=2c) siempre es mayor que 2a. En la elipse era al revés (si lo miráramos por detrás de ese cilindro imaginario, sería una elipse y cumpliría lo de la elipse, que sería menor).

A PF1 y PF2 se les llama RADIOS VECTORES. Cada segmento de un punto a un foco es un radio vector.

Entonces ya conocemos estos elementos de la hipérbola (fijaos que son los mismos que en la elipse):

• EJE REAL, FOCAL, también MAYOR como en la elipse- 2a, se corresponde con dos puntos de la hipérbola, sus vértices.
• EJE SECUNDARIO O IMAGINARIO, también MENOR como en la elipse -2b que en la hipérbola es un eje imaginario. Los puntos C y D se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c (ver figura 1.1).
• VÉRTICES - AB - La distancia entre ellos es 2a.
• CENTRO O - En el centro del segmento AA' o AB
• FOCOS - F1F2 o FF' dos puntos fijos.
• DISTANCIA FOCAL - F1F2 - 2c
• RADIOS VECTORES - Distancia de un punto de la hipérbola a cada foco. PF (hay dos).

Figura 1

Figura 1.1

La relación que existe, mira en la figura 1.1 entre "c" y "a", es lo que se llama EXCENTRICIDAD. Siempre es mayor o igual a "1", dado que "c" es mayor o igual que "a" siempre. La excentricidad es la que mide la abertura mayor o menor de estas ramas de la hipérbola.

¿Los tenemos todos identificados?

Avanzamos ahora con otros dos elementos fundamentales:

• CIRCUNFERENCIA FOCAL. Es la circunferencia que tiene como centro uno de los focos de la hipérbola y radio 2a. ¡Igual que en la elipse!. Hay por tanto, dos circunferencias focales. De hecho, su definición es: Cf es el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco (F1 en el dibujo de abajo) respecto a las tangentes de la hipérbola. Y lo entenderéis cuando veamos el siguiente elemento, tranquilos.
• CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL. También muy útil, ya veréis. Es la circunferencia de centro O y diámetro 2a (igual que en la elipse). Importante, esta circunferencia es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes de la hipérbola. Fijaos en el dibujo de abajo, el punto P pertenece a la hipérbola, trazados PF y PF', si llevamos el segmento PF' sobre PF obtenemos F1(yo lo suelo llamar Fs, por ser el simétrico de F'). Justo en su punto medio, y perpendicular a ese segmento F' y su simétrico, que es el punto Q, obtenemos la recta tangente a la hipérbola en el punto P. ¿Lo veis? Ese triangulito es fundamental, como lo era en la elipse y en la parábola. Pues bien, resulta que ese punto Q pertenece a la circunferencia principal. Esto os servirá para muchos problemas. ¿Os habíais fijado que el simétrico del Foco pertenece también a la circunferencia focal del otro foco? ¡Qué casualidad! Ojo al dato, porque os servirá también.

Figura 2

OJO: Es muy recomendable hacerse este dibujo genérico como dibujo de análisis o parte de él antes de abordar un ejercicio (¡¡os lo digo siempre!!), y ver qué me dan, y qué me piden. De esa manera sabremos cómo resolver los ejercicios. 

Fijaos también en otra cosa en el dibujo anterior: al final, resulta que la recta tangente t en un punto P de la hipérbola, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en ese punto (ángulo entre PF y PF'). ¡Otra casualidad a tener en cuenta en los problemas! Y claro, la normal, será su perpendicular. Como en este dibujo simplificado:

Figura 3

Una penúltima cosa, ya que estamos, vuelvo a la figura 2, por si tenemos un problema raro de hipérbola en la EvAU como el de la parábola del junio pasado. Hemos visto que todos los puntos Q de la circunferencia principal son los pies de las tangentes a la hipérbola y si los unimos con el foco F' deben formarse siempre 90º. Pues esto debe cumplirse en todos ellos, y nos vale para hacer otra construcción de la hipérbola: POR ENVOLVENTES. No es exacto, en absoluto, pero es muy fácil ¿no? Mirad la figura 4. También podéis ver la construcción en este vídeo, aunque la Cp no es muy circunferencia que digamos, pero bueno.

Figura 4

Prestad atención, es lo último, de verdad. Si hago lo mismo que en cualquier punto Q de esa circunferencia principal, pero cojo el punto A, resulta que también pertenece a esa Cp, ¡Qué casualidad! :-) Es un punto que ya conocemos de la hipérbola, su vértice, y ahí su tangente es perpendicular al eje ¿no? Pues bien, si trazo el arco de centro O y radio OF, en la intersección de dicho arco con esa tangente en A (que ya hemos visto que es perpendicular al eje real), hallaremos el punto 1. Uniendo O1 obtendríamos una recta importante: una de las dos ASÍNTOTAS de la hipérbola. La otra, por simetría y listo. Estas asíntotas, son las rectas tangentes a la hipérbola en el infinito. ¿Las veis en la figura 2? Al final está todo relacionado...


Bueno, pues hasta aquí, salvo que necesitéis alguna aclaración más.

ACTIVIDADES
Descarga las láminas:

• Cónicas. Hipérbola 01
• Cónicas. Hipérbola 1. Consejo, antes de hacer esta lámina, vuelve a ver el vídeo 3.

DUDAS

• Comentarios en esta misma tarea, que así los compartimos todos. Y lo que no sea posible, ¡al correo!. Y si hace falta, ya os haré algún vídeo cutre mío para explicaros lo que necesitéis, como en la parábola.

EVALUACIÓN
Las láminas se puntuarán sobre 10, considerando el grado de cumplimiento de los estándares de aprendizaje correspondientes a este bloque. Criterio general: el definido en la programación, que ya conocéis.

ENTREGA y PLAZO
Cuando termines cada uno de los ejercicios, incluye una foto o escaneado del mismo en el siguiente tablero. Edita tus fotos para que se vean lo mejor posible. Como siempre, tu envío no será visible hasta que yo los haga públicos.

• Plazo: lunes 14 de abril 23:55h
• Tablero de entregas: Nota: es mejor que abráis el enlace en una ventana nueva, el tablero es más rápido y os fallarán menos las subidas de ficheros. Por favor, girad las imágenes a posición vertical antes de subirlas al tablero.

LÁMINAS SOLUCIONADAS
Enlace para descargar los ficheros PDF